I. Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số   xác định trên (a; b) liên tục tại  ∈ (a; b) nếu 
Hàm số   không liên tục tại x₀ gọi là gián đoạn tại .

II. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn.
• Hàm số  xác định trên (a; b) và liên tục tại mọi điểm  ∈ (a; b) gọi là liên tục trên khoảng (a; b).
• Hàm số   xác định trên [a; b], liên tục trên (a; b) và  được gọi là liên tục trên [a; b].

III. Một số định lí về hàm số liên tục
Định lí 1: Các hàm số đa thức liên tục trên tập số thực R. Các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Định lí 2: Nếu   và  là các hàm số liên tục trên khoảng K thì:
a) Các hàm số  ± , . liên tục trên K.

Định lí 3: Nếu hàm số  liên tục trên [a; b], f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số M nằm giữa f(a) và f(b) có ít nhất 1 số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = M.

Hệ quả: Nếu hàm số   liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Điều này có nghĩa là phương trình  = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).