Giới hạn của dãy số

I. Dãy số có giới hạn
1. Dãy số có giới hạn 0
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn là 0, kí hiệu $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0$ (hoặc $\lim {{u}_{n}}=0$ hoặc ${{u}_{n}}\to 0$ khi $n\to +\infty$ ), nếu tất cả các số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương
tùy ý cho trước.
Ví dụ: $\lim \frac{1}{n}=0,\lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0,\lim {{q}^{n}}=0\left( \left| q \right|<1 \right).$
Định lí: Cho hai dãy số $\left( {{u}_{n}} \right),\left( {{v}_{n}} \right).$
Nếu $\left| {{u}_{n}} \right|\le {{v}_{n}},\forall n$ và $\lim {{v}_{n}}=0$ thì $\lim {{u}_{n}}=0.$

2. Dãy số có giới hạn

3. Các định lí về dãy số có giới hạn hữu hạn
Định lí 1.

Định lí 2: Nếu $\lim {{u}_{n}}=L,\lim {{v}_{n}}=M$ và c là hằng số thì:
• $\lim \left( {{u}_{n}}\pm {{v}_{n}} \right)=L\pm M,\lim \left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)=L.M,\lim \left( c.{{u}_{n}} \right)=c.L.$

Định lí 3: (Định lí kẹp về giới hạn của dãy số)
Cho ba dãy số $\left( {{u}_{n}} \right),\left( {{v}_{n}} \right),\left( {{\text{w}}_{n}} \right)$ và số thực L.
Nếu ${{u}_{n}}\le {{v}_{n}}\le {{\text{w}}_{n}},\forall n$ và $\lim {{u}_{n}}=\lim {{w}_{n}}=L$ thì $\lim {{v}_{n}}=L.$

Định lí 4:
a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

II. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho dãy số ${{u}_{1}},{{u}_{1}}.q,...,{{u}_{1}}.{{q}^{n-1}},...$ với công bội q mà $\left| q \right|<1$ gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Ta có: $S=\lim {{S}_{n}}=\lim \left( {{u}_{1}}+{{u}_{1}}.q+...+{{u}_{1}}.{{q}^{n-1}} \right)=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}.$
S gọi là tổng của cấp số nhân đã cho. Khi đó ta viết:
$S={{u}_{1}}+{{u}_{1}}.q+{{u}_{1}}.{{q}^{2}}+...=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}.$