Tích phân- Phương pháp tích phân từng phần

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1.Phương pháp

Các bước tính tích phân từng phần:

+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng $I=\int_{a}^{b}{f(x).g(x)dx}$ .

+ Bước 2: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=f(x)\\dv=g(x)dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=f'(x)dx\\v=\int{g(x)dx}\end{array} \right.$ (chọn $v$ là một nguyên hàm của $g(x)$ ).

+ Bước 3: Khi đó $I=\int_{a}^{b}{udv}=uv|_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{vdu}$ .

Thứ tự ưu tiên đặt u: Thứ tự ưu tiên chọn u: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ.

2. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 (THPT Chuyên KHTN 2017 Lần 4)

Với các số nguyên $a,b$ thỏa mãn $\int_{1}^{2}{(2x+1)\ln xdx}=a+\frac{3}{2}+\ln b$ . Tính tổng $P=a+b$ .

A. $P=27$ . B. $P=28$ . C. $P=60$ . D. $P=61$ .

Lời giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\ln x\\dv=(2x+1)dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{1}{x}dx\\v={{x}^{2}}+x\end{array} \right.$

$\int_{1}^{2}{(2x+1)\ln xdx}=({{x}^{2}}+x)\ln x|_{1}^{2}-\int_{1}^{2}{({{x}^{2}}+x).\frac{1}{x}dx}$

$=6\ln 2-\int_{1}^{2}{(x+1)dx}=6\ln 2-\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x \right) \right|_{1}^{2}$
$=6\ln 2-(4-\frac{3}{2})=-4+\frac{3}{2}+\ln 64$

Vậy $P=a+b=-4+64=60$ .

Chọn C.

Ví dụ 2 (THPT Phù Cừ – Hưng Yên 2017 Lần 2)

Cho $\int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=5$ và $f(0)=1$ . Tính $I=\int_{0}^{2}{f(x)dx}$ .

A. $I=3$ . B. $I=-3$ . C. $I=-7$ . D. $I=7$ .

Lời giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=x-2\\dv=f'(x)dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=dx\\v=f(x)\end{array} \right.$ .

Ta có $5=\int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=(x-2)f(x)|_{0}^{2}-\int_{0}^{2}{f(x)dx}$ $=2f(1)-I=2-I\Rightarrow I=-3$ .

Chọn B.

Ví dụ 3: Kết quả của tích phân $I=\int_{2}^{3}{\ln ({{x}^{2}}-x)dx}$ được viết ở dạng $I=a\ln 3-b$ với $a,b$ là các số nguyên. Khi đó $a-b$ nhận giá trị nào sau đây?

A. $-2$ . B. 3. C. 1. D. 5.

Lời giải:

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=\ln ({{x}^{2}}-x)\\dv=dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}-x}dx\\v=x\end{array} \right.$ .

$\Rightarrow I=x.\ln ({{x}^{2}}-x)|_{2}^{3}-\int_{2}^{3}{\frac{2x-1}{x-1}dx}=3\ln 16-2\ln 2-{{I}_{1}}$ .

Xét ${{I}_{1}}=\int_{2}^{3}{\frac{2x-1}{x-1}dx}=\int_{2}^{3}{\left( 2+\frac{1}{x-1} \right)dx}$ $=(2x+\ln |x-1|)|_{2}^{3}=2+\ln 2$

$\Rightarrow I=3\ln 3-2\Rightarrow a=3;\,b=-2$ .

Chọn D.

Nhận xét: Nếu biểu thức cần tính tích phân là hàm logarit thì ta cũng sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt $u$ chính là hàm logarit đó và $dv=dx$ .

Ví dụ 4 (Sở GD Bình Thuận 2017) Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ . Biết $F(3)=3$ và $\int_{-1}^{2}{F(x+1)dx}=1$ . Tính $I=\int_{0}^{3}{xf(x)dx}$ .

A. 10. B. 11. C. 9. D. 8.

Lời giải:

Đặt $t=x+1\Rightarrow dt=dx$ .

$\Rightarrow \int_{-1}^{2}{F(x+1)dx}=\int_{0}^{3}{F(t)dt}\Rightarrow \int_{0}^{3}{F(x)dx}=1$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=x\\dv=f(x)dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=dx\\v=F(x)\end{array} \right.$

$\Rightarrow I=\int_{0}^{1}{xf(x)dx}=xF(x)|_{0}^{3}-\int_{0}^{3}{F(x)dx}=3F(3)-1=8$ .

Chọn D.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:

a) $I=\int_{0}^{1}{{{e}^{x}}\sin xdx}$ . b) $I=\int_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}$ .

Lời giải:

a) Đặt $\left\{ \begin{array}{l}{{e}^{x}}=u\\\sin xdx=dv\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{e}^{x}}dx=du\\-\cos x=v\end{array} \right.$

$\Rightarrow I=-({{e}^{x}}\cos x)|_{0}^{1}+\int_{0}^{1}{\cos x.{{e}^{x}}dx}=-({{e}^{x}}\cos x)|_{0}^{1}+{{I}_{1}}$ .

Xét ${{I}_{1}}=\int_{0}^{1}{{{e}^{x}}.\cos xdx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u={{e}^{x}}\\dv=\cos xdx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du={{e}^{x}}dx\\v=\sin x\end{array} \right.$

$\Rightarrow {{I}_{1}}=({{e}^{x}}\sin x)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{{{e}^{x}}\sin xdx}={{e}^{x}}\sin x|_{0}^{1}-I$

$\Rightarrow I=-({{e}^{x}}\cos x)|_{0}^{1}+{{e}^{x}}\sin x|_{0}^{1}-I$ $\Rightarrow 2I=-({{e}^{x}}\cos x)|_{0}^{1}+{{e}^{x}}\sin x|_{0}^{1}$

$\Rightarrow I=\frac{1-e(\sin 1-\cos 1)}{2}$

b) $I=\int_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u={{x}^{2}}\\dv={{e}^{x}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=2xdx\\v={{e}^{x}}\end{array} \right.$ .

$\Rightarrow I=({{x}^{2}}{{e}^{x}})|_{0}^{1}-2\int_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}=({{x}^{2}}{{e}^{x}})|_{0}^{1}-2{{I}_{1}}$ .

Xét ${{I}_{1}}=\int_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}$ , đặt $\left\{ \begin{array}{l}u=x\\dv={{e}^{x}}dx\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du=dx\\v={{e}^{x}}\end{array} \right.$ .