HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN   A. Lý thuyết cơ bản 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian Cho ba trục  vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc . Gọi  là các vecto đơn vị tương ứng trên các trục . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc  (hoặc đơn giản là hệ tọa độ ). Chú ý:  và . 2. Tọa độ của vec to Định nghĩa:  Tính chất: Cho , ta có: + . + . + . + . + . +  +. +  cùng phương với . . + . 3. Tọa độ của điểm - Định nghĩa: . - Tính chất: Cho                                   . - Tọa độ trung điểm  của đoạn : . - Tọa độ trọng tâm  của tam giác : . - Tọa độ trọng tâm  của tứ diện  là: . 4. Tích có hướng của hai vecto - Định nghĩa: Cho  - Tính chất: + ;    ;    . + ;    . + . +  cùng phương . - Ứng dụng của tích có hướng: + Điều kiện đồng phẳng của ba vecto:  và  đồng phẳng ⇔. + Diện tích hình bình hành ABCD:        . + Diện tích hình tam giác ABC:            . + Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D':    .     + Thể tích tứ diện ABCD:            . B. Bài tập Dạng 1. Tìm tọa độ của điểm, vecto và các yếu tố liên quan đến vecto thỏa mãn một số điều kiện cho trước A. Phương pháp Các điểm đặc biệt của : +  là trọng tâm của                       . +  là trực tâm của  ( đồng phẳng). +  là chân đường cao hạ từ đỉnh  của . +  là chân đường phân giác trong của góc . Các điểm đặc biệt của tứ diện  - Trọng tâm  của tứ diện  là . B. Bài tập ví dụ Ví dụ 1.1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vecto . Tìm tọa độ điểm .     A. .           B. .            C. .             D. . Lời giải: Ta có .       . Chọn đáp án A. Ví dụ 1.2: Cho vecto , tọa độ vecto  là     A. .         B. .                C. .           D. . Lời giải: Ta có: Chọn đáp án A. Ví dụ 1.3: Cho ba vecto , tọa độ vecto  thỏa mãn là     A. .    B. .    C. .    D. . Lời giải: . Chọn đáp án A. Ví dụ 1.4: Cho vecto , trong các vecto sau, vecto nào cùng phương với ?     A. .    B. .    C. .    D. . Lời giải:  cùng phương với   Chọn B. Ví dụ 1.5: Trong không gian , cho 2 vecto , tích vô hướng của và  có giá trị bằng     A. 18.                          B. 34.                           C. 14.                       D. 0. Lời giải: Ta có . Chọn đáp án A. Ví dụ 1.6: Trong không gian , cho ba điểm . Tính bằng     A. .                          B. .                         C. .                         D. . Lời giải: Ta có . . Chọn đáp án D. Ví dụ 1.7: Cho ba điểm . Tọa độ trọng tâm  của tam giác  là     A. .               B. .                  C. .                 D. . Lời giải: Tọa độ trọng tâm của tam giác  là . Chọn đáp án A. Ví dụ 1.8: Trong không gian , cho tứ diện  có, . Tọa độ trọng tâm  của tứ diện  là     A. .        B. .                 C. .                   D. . Lời giải: Trọng tâm  của tứ diện  là . Chọn đáp án C. Ví dụ 1.9: Trong không gian , cho tam giác  với . Xác định tọa độ điểm  để  là hình bình hành.     A. .    B. .    C. .    D. . Lời giải: Để  là hình bình hành thì . Ta có . Gọi . Chọn đáp án A. Ví dụ 1.10: Trong không gian , cho hình lăng trụ tam giác  có ,  và . Tìm tọa độ đỉnh ?     A. .                  B. .                 C. .                  D. . Lời giải: Do  là hình lăng trụ nên . Chọn đáp án C. Ví dụ 1.11: Cho hình hộp  biết . a) Xác định tọa độ đỉnh  của hình hộp.     A. .                  B. .                  C. .                   D. . b) Xác định tọa độ đỉnh  của hình hộp.     A. .              B. .           C. .            D. . c) Xác định tọa độ đỉnh  của hình hộp.     A. .              B. .         C. .               D. . d) Xác định tọa độ đỉnh  của hình hộp.     A. .           B. .           C. .               D. . Lời giải: a) Gọi , ta có . . . Chọn đáp án B. b) Gọi . Ta có . . . Chọn đáp án D. c) Gọi , ta có . . . Chọn đáp án A. d) Gọi , ta có . . . Chọn đáp án C. Dạng 2. Tích có hướng và ứng dụng Ví dụ 2.1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vecto . Tính .     A. .                   B. .     C. .                                    D. . Lời giải: . Chọn đáp án D. Ví dụ 2.2: Trong không gian , cho các điểm . Tính diện tích tam giác ?     A. .                     B. .                        C. .                        D. . Lời giải: . . Chọn đáp án C. Ví dụ 2.3: Trong không gian , cho điểm . Điểm  trong mặt phẳng  có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện  bằng 2 và khoảng cách từ đến mặt phẳng  bằng 1 có thể là     A. .      B. .              C. .               D. . Lời giải: Do  với . Theo giả thiết: . Ta có . Suy ra . . Chọn đáp án D. Ví dụ 2.4: Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật  có điểm  trùng với gốc tọa độ,  với . Gọi  là trung điểm cạnh . Giả sử , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ?     A. .                                B. .     C. .                             D. . Lời giải: Ta có . Suy ra . . Do  nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: . Suy ra . Chọn đáp án A. Ví dụ 2.5 (THPT Nguyễn Khuyến TP HCM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp chữ nhật  có  trùng với gộc tọa độ , các đỉnh , với  và . Gọi  là trung điểm của cạnh . Khi đó thể tích tứ diện  đạt giá trị lớn nhất bằng     A. .                         B. .                           C. .                          D. . Lời giải: Tọa độ điểm . . . . Ta có . .  Chọn đáp án C.