Hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC

I. Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên (a; b) liên tục tại ${{x}_{0}}$ ∈ (a; b) nếu
Hàm số $f\left( x \right)$ không liên tục tại x₀ gọi là gián đoạn tại ${{x}_{0}}$ .

II. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn.
• Hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên (a; b) và liên tục tại mọi điểm ${{x}_{0}}$ ∈ (a; b) gọi là liên tục trên khoảng (a; b).
• Hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên [a; b], liên tục trên (a; b) và được gọi là liên tục trên [a; b].

III. Một số định lí về hàm số liên tục
Định lí 1: Các hàm số đa thức liên tục trên tập số thực R. Các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó.
Định lí 2: Nếu $f\left( x \right)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục trên khoảng K thì:
a) Các hàm số $f\left( x \right)$ ± $g(x)$ , $f\left( x \right)$ . $g(x)$ liên tục trên K.

Định lí 3: Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên [a; b], f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số M nằm giữa f(a) và f(b) có ít nhất 1 số c ∈ (a; b) sao cho f(c) = M.

Hệ quả: Nếu hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0. Điều này có nghĩa là phương trình $f\left( x \right)$ = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b).

IV. Các dạng bài tập:

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, khoảng, đoạn.

Phương pháp giải:

+ Hàm số y = f(x) liên tục tại $x={{x}_{0}}$ $\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$ .

+ Hàm số y = f(x) liên tục tại $x={{x}_{0}}$ $\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$ .

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) tại x = 2

b) tại x = 1.

Lời giải:

a) Ta có f(2) = 1.

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2-7x+5{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-3x+2}$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-2)(-{{x}^{2}}+3x-1)}{(x-1)(x-2)}$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{-{{x}^{2}}+3x-1}{x-1}$ $=1=f(2)$

Vậy hàm số liên tục tại x = 2.

b) Ta có: f(1) = -2.1= -2

$\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(-2x)=-2$

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{\sqrt{2-x}-1}$ $=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(\sqrt{2-x}+1)}{(\sqrt{2-x}-1)(\sqrt{2-x}+1)}$

$=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)(\sqrt{2-x}+1)}{1-x}$ $=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(-\sqrt{2-x}-1)=-2$ = $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(1)$

Vậy hàm số liên tục tại x = 1.

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

Lời giải:

Tập xác định của f(x) là D = R.

+ Nếu x ≠ 3, thì $f(x)=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{x-3}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $(-\infty ,3);(3,+\infty )$ .

+ Nếu x = 3, ta có f(3) = 5.

$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ $=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{x-3}$ $=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+1)(x-3)}{x-3}$ $=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,(x+1)=4\ne f(3)$

Do đó f(x) không liên tục tại x = 3.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng $(-\infty ,3);(3,+\infty )$ nhưng gián đoạn tại x = 3.

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.

Lời giải:

Ta có f(2) = m.

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+1)(x-2)}{x-2}$ $=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,(x+1)=3$

Để hàm số liên tục tại x = 2 $\Leftrightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(2)$ $\Leftrightarrow m=3$

Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng đoạn

Phương pháp:

Để chứng minh hàm số $\displaystyle y=f(x)$ liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.
Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào.

Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số:

1. $f(x)=\tan 2x+\cos x$ 2. $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}+2}{{{x}^{2}}-3x+2}$

Lời giải:

1. TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}$

Vậy hàm số liên tục trên $D$

2. Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}x-1\ge 0\\{{x}^{2}}-3x+2\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x>1\\x\ne 2\end{array} \right.$

Vậy hàm số liên tục trên $\left( 1;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$ .

Ví dụ 2 Xác định a để hàm số sau liên tục trên $\mathbb{R}$ :

Lời giải:

Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$

Với $x<2\Rightarrow$ hàm số liên tục

Với $x>2\Rightarrow$ hàm số liên tục

Với $x=2$ ta có $\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(1-a)x=2(1-a)=f(2)$

$\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}^{2}}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,{{a}^{2}}(\sqrt{x+2}+2)=4{{a}^{2}}$

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow$ hàm số liên tục tại $x=2$

$\Leftrightarrow \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}=2(1-a)\Leftrightarrow a=-1,a=\frac{1}{2}$ .