Giới hạn của dãy số

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. Lí thuyết cơ bản

1. Giới hạn hữu hạn

a. Giới hạn hữu hạn

+ $\displaystyle \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0\Leftrightarrow \left| {{u}_{n}} \right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
+ Dãy số $\displaystyle \left( {{u}_{n}} \right)$ có giới hạn là $\displaystyle L$ nếu: $\displaystyle \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=L\Leftrightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{v}_{n}}-L \right)=0$
- Lưu ý: Ta có thể viết gọn: $\displaystyle \lim {{u}_{n}}=0,\text{ }\lim {{u}_{n}}=L$ .

b. Giới hạn đặt biệt

1) $\displaystyle \lim \frac{1}{n}=0$ 2) $\displaystyle \lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0$ 3) $\displaystyle \lim \frac{1}{\sqrt[3]{n}}=0$

4) $\displaystyle {{u}_{n}}=0\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=0$ 5) $\displaystyle \lim C=C,\forall C\in \mathbb{R}$ 6) $\displaystyle \lim {{q}^{n}}=0$ nếu $\displaystyle \left| q \right|<1$ )

7) $\displaystyle \lim \frac{1}{{{n}^{k}}}=0,\,\,k\in \mathbb{N}*$ 8) $\displaystyle \lim {{q}^{n}}=+\infty$ nếu $\displaystyle q>1$ 9) $\displaystyle \lim {{n}^{k}}=+\infty ,\,\,k\in \mathbb{N}*$

c. Định lí về giới hạn

• Nếu hai dãy số $\displaystyle \left( {{u}_{n}} \right)$ và $\displaystyle \left( {{v}_{n}} \right)$ cùng có giới hạn thì ta có:

1) $\displaystyle \lim ({{u}_{n}}\pm {{v}_{n}})=\lim {{u}_{n}}\pm \lim {{v}_{n}}$ 2) $\displaystyle \lim \left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)=\lim {{u}_{n}}.\lim {{v}_{n}}$

3) $\displaystyle \lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=\frac{\lim {{u}_{n}}}{\lim {{v}_{n}}}$ (Nếu $\displaystyle \lim {{v}_{n}}\ne 0$ ) 4) $\displaystyle \lim \left( k.{{u}_{n}} \right)=k.\lim {{u}_{n}},\,\,\,(k\in \mathbb{R})$

5) $\displaystyle \lim |{{u}_{n}}|=|\lim {{u}_{n}}|$ 6) $\displaystyle \lim \sqrt[2k]{{{u}_{n}}}=\sqrt[2k]{\lim {{u}_{n}}}$ (nếu $\displaystyle {{u}_{n}}\ge 0$ ) (căn bậc chẵn)

7) $\displaystyle \lim \sqrt[2k+1]{{{u}_{n}}}=\sqrt[2k+1]{\lim {{u}_{n}}}$ (căn bậc lẻ)

8) Nếu $\displaystyle {{u}_{n}}\le {{v}_{n}}$ và $\displaystyle \lim {{v}_{n}}=0$ thì $\displaystyle \lim {{u}_{n}}=0$ .

– Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số $\displaystyle \left( {{u}_{n}} \right)$ , $\displaystyle \left( {{v}_{n}} \right)$ , $\displaystyle \left( {{w}_{n}} \right)$ và $L\in \mathbb{R}$ . Nếu $\displaystyle {{u}_{n}}\le {{v}_{n}}\le {{w}_{n}}$ , $\displaystyle \forall n\in \mathbb{N}*$ và $\displaystyle \lim {{u}_{n}}=\lim {{w}_{n}}=L$ thì $\displaystyle \left( {{v}_{n}} \right)$ có giới hạn và $\displaystyle \lim {{v}_{n}}=L$ .

• Nếu $\displaystyle \lim {{u}_{n}}=a$ và $\displaystyle \lim {{v}_{n}}=\pm \infty$ thì $\displaystyle \lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=0$ .

1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.

2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.

Chú ý:
$\displaystyle e=\lim {{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}\approx 2,718281828459...$ , là một số vô tỉ.

d. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

• Một cấp số nhân có công bội q với $\displaystyle |q|<1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta có : $\displaystyle S={{u}_{1}}+{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}+\ldots =\frac{{{u}_{1}}}{1-q}$ (với $\displaystyle |q|<1$ )

2. Giới hạn vô cực

a. Định nghĩa

+ $\displaystyle \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=+\infty \Leftrightarrow {{u}_{n}}$ có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
+ $\displaystyle \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=-\infty \Leftrightarrow {{u}_{n}}$ có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý , kể từ một số hạng nào đó trở đi.
+ $\displaystyle \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=-\infty \Leftrightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -{{u}_{n}} \right)=+\infty$

Lưu ý: Ta có thể viết gọn: $\displaystyle \lim {{u}_{n}}=\pm \infty$ .

b. Định lí

– Nếu $\displaystyle lim\left| {{u}_{n}} \right|=+\infty \,\,th\grave{i}\,\,lim\frac{1}{{{u}_{n}}}=0$

– Nếu $\displaystyle \lim {{u}_{n}}=0,\,\,\left( {{u}_{n}}\ne 0,\forall n\in \mathbb{N} \right)\Leftrightarrow \lim \frac{1}{{{u}_{n}}}=\infty$

c. Một vài quy tắc tìm giới hạn

B. Bài tập

Dạng 1.Tính giới hạn bằng định nghĩa

A. Phương pháp

$\bullet$ Để chứng minh $\lim {{u}_{n}}=0$ ta chứng minh với mọi số $a>0$ nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số ${{n}_{a}}$ sao cho $\left| {{u}_{n}} \right|<a\text{ }\forall n>{{n}_{a}}$ .

$\bullet$ Để chứng minh $\lim {{u}_{n}}=l$ ta chứng minh $\lim ({{u}_{n}}-l)=0$ .

$\bullet$ Để chứng minh $\lim {{u}_{n}}=+\infty$ ta chứng minh với mọi số $M>0$ lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${{n}_{M}}$ sao cho ${{u}_{n}}>M\text{ }\forall n>{{n}_{M}}$ .

$\bullet$ Để chứng minh $\lim {{u}_{n}}=-\infty$ ta chứng minh $\lim (-{{u}_{n}})=+\infty$ .

$\bullet$ Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Chứng minh rằng:

1. $\lim \frac{n+2}{n+1}=1$ 2. $\lim \frac{{{n}^{2}}-1}{2{{n}^{2}}+1}=\frac{1}{2}$ 3. $\lim \frac{1-2n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}=-2$

Lời giải:

1. Với $a>0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${{n}_{a}}>\frac{1}{a}-1$ , ta có:

$\left| \frac{n+2}{n+1}-1 \right|=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{{{n}_{a}}+1}<a$ với $\forall n>{{n}_{a}}$

Suy ra $\lim \left| \frac{n+2}{n+1}-1 \right|=0\Rightarrow \lim \frac{n+2}{n+1}=1$ .

2. Với $a>0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${{n}_{a}}>\sqrt{\frac{3}{a}-1}$ , ta có:

$\left| \frac{{{n}^{2}}-1}{2{{n}^{2}}+1}-\frac{1}{2} \right|=\frac{3}{{{n}^{2}}+1}<\frac{3}{n_{a}^{2}+1}<a$ với $\forall n>{{n}_{a}}$

Suy ra $\lim \left| \frac{{{n}^{2}}-1}{2{{n}^{2}}+1}-\frac{1}{2} \right|=0\Rightarrow \lim \frac{{{n}^{2}}-1}{2{{n}^{2}}+1}=\frac{1}{2}$ .

3. Với $a>0$ nhỏ tùy ý, ta chọn ${{n}_{a}}>\sqrt{\frac{9}{{{a}^{2}}}-1}$ , ta có:

$\left| \frac{1-2n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}+2 \right|=\left| \frac{1-2n+2\sqrt{{{n}^{2}}+1}}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}} \right|$ $<\left| \frac{1-2n+2(n+1)}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}} \right|=\frac{3}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}$ $<\frac{3}{\sqrt{n_{a}^{2}+1}}<a$ với $\forall n>{{n}_{a}}$ .

Suy ra $\lim \left| \frac{1-2n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}+2 \right|=0\Rightarrow \lim \frac{1-2n}{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}=-2$ .

Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng dãy số $({{u}_{n}}):{{u}_{n}}={{(-1)}^{n}}$ không có giới hạn.

Lời giải:

Ta có: ${{u}_{2n}}=1\Rightarrow \lim {{u}_{2n}}=1;\text{ }{{u}_{2n+1}}=-1\Rightarrow \lim {{u}_{2n+1}}=-1$

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (u_n) không có giới hạn.

Ví dụ 1.3: Chứng minh các giới hạn sau:

1. $\lim \frac{{{n}^{2}}+1}{n}=+\infty$ 2. $\lim \frac{2-n}{\sqrt{n}}=-\infty$

Lời giải:

1. Với mọi số thực dương $M$ lớn tùy ý, ta có:

$\left| \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right|>M\Leftrightarrow {{n}^{2}}-Mn+1>0$ $\Leftrightarrow n>\frac{M+\sqrt{{{M}^{2}}-4}}{2}$

Ta chọn ${{n}_{0}}=\left[ \frac{M+\sqrt{{{M}^{2}}-4}}{2} \right]$ thì ta có: $\frac{{{n}^{2}}+1}{n}>M,\text{ }\forall n>{{n}_{0}}$

Do đó: $\lim \frac{{{n}^{2}}+1}{n}=+\infty$ .

2. Với mọi $M>0$ lớn tùy ý, ta có:

$\frac{n-2}{\sqrt{n}}>M\Leftrightarrow n-M\sqrt{n}-2>0$ $\Leftrightarrow n>{{\left( \frac{M+\sqrt{{{M}^{2}}+8}}{2} \right)}^{2}}$

Ta chọn ${{n}_{0}}=\left[ {{\left( \frac{M+\sqrt{{{M}^{2}}+8}}{2} \right)}^{2}} \right]$ thì ta có: $\frac{n-2}{\sqrt{n}}>M,\text{ }\forall n>{{n}_{0}}$

Do đó: $\lim \frac{2-n}{\sqrt{n}}=-\infty$ .

Dạng 2. Khử dạng vô định $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$

A. Phương pháp

- Đối với dãy $\displaystyle {{u}_{n}}=\frac{{{a}_{0}}{{n}^{m}}+{{a}_{1}}{{n}^{m-1}}+...+{{a}_{m}}}{{{b}_{0}}{{n}^{k}}+{{b}_{1}}{{n}^{k-1}}+...+{{b}_{k}}},\,\,{{a}_{0}}\ne 0,\,\,{{b}_{0}}\ne 0$ thì chia cả tử lẫn mẫu của phân thức cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử $\displaystyle {{n}^{m}}$ hoặc mẫu $\displaystyle {{n}^{k}}$ , việc này cũng như đặt thừa số chung cho $\displaystyle {{n}^{m}}$ hoặc mẫu $\displaystyle {{n}^{k}}$ rồi rút gọn, khử dạng vô định. Kết quả:
- - Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số chung rồi đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n ở tử hoặc mẫu.
- - Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó.
Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … và sử dụng các kết quả đã biết.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Tìm các giới hạn sau :

1. $A=\lim \frac{2{{n}^{2}}+3n+1}{3{{n}^{2}}-n+2}$ 2. $B=\lim \frac{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}{n-\sqrt{3{{n}^{2}}+1}}$

3. $C=\lim \frac{{{\left( 2{{n}^{2}}+1 \right)}^{4}}{{\left( n+2 \right)}^{9}}}{{{n}^{17}}+1}$ 4. $D=\lim \frac{\sqrt{{{n}^{2}}+1}-\sqrt[3]{3{{n}^{3}}+2}}{\sqrt[4]{2{{n}^{4}}+n+2}-n}$

Lời giải:

1. Ta có: $A=\lim \frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}}}{3-\frac{1}{n}+\frac{2}{{{n}^{2}}}}=\frac{2}{3}$ .

2. Ta có: $B=\lim \frac{\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+n}}{n}}{\frac{n-\sqrt{3{{n}^{2}}+1}}{n}}$ $=\lim \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{1-\sqrt{3+\frac{1}{{{n}^{2}}}}}=\frac{1}{1-\sqrt{3}}$

3. Ta có: $C=\lim \frac{{{n}^{8}}{{(2+\frac{1}{{{n}^{2}}})}^{4}}.{{n}^{9}}{{(1+\frac{2}{n})}^{9}}}{{{n}^{17}}(1+\frac{1}{{{n}^{17}}})}$ $=\lim \frac{{{(2+\frac{1}{{{n}^{2}}})}^{4}}.{{(1+\frac{2}{n})}^{9}}}{1+\frac{1}{{{n}^{17}}}}$

Suy ra $C=16$ .

4. Ta có: $D=\lim \frac{n\left( \sqrt{1+\frac{1}{{{n}^{2}}}}-\sqrt[3]{3+\frac{2}{{{n}^{3}}}} \right)}{n\left( \sqrt[4]{2+\frac{1}{{{n}^{3}}}+\frac{2}{{{n}^{4}}}}-1 \right)}=\frac{1-\sqrt[3]{3}}{\sqrt[4]{2}-1}$ .

Ví dụ 2.2: Tìm các giới hạn sau :

1. $C=\lim \left[ \left( 1-\frac{1}{{{2}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{3}^{2}}} \right)...\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \right]$

2. $D=\lim \left[ \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)} \right]$

Lời giải:

1. Ta có: $1-\frac{1}{{{k}^{2}}}=\frac{(k-1)(k+1)}{{{k}^{2}}}$ nên suy ra

$\left( 1-\frac{1}{{{2}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{3}^{2}}} \right)...\left( 1-\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)$ $=\frac{1.3}{{{2}^{2}}}.\frac{2.4}{{{3}^{2}}}...\frac{(n-1)(n+1)}{{{n}^{2}}}=\frac{n+1}{2n}$

Do vậy $C=\lim \frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}$ .

2. Ta có $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ nên suy ra

$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{n+1}$

Vậy $D=\lim \left( 1-\frac{1}{n+1} \right)=1$ .

Ví dụ 2.3: Tìm các giới hạn sau :

1. $A=\lim \frac{{{4}^{n+1}}-{{5}^{n+1}}}{{{4}^{n}}+{{5}^{n}}}$ 2. $B=\lim \frac{{{4.3}^{n+2}}-{{2.7}^{n-1}}}{{{4}^{n}}+{{7}^{n+1}}}$

Lời giải:

1. Chia cả tử và mẫu cho ${{5}^{n}}$ ta có: $A=\lim \frac{4{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{n}}-5}{{{\left( \frac{4}{5} \right)}^{n}}+1}=-5$ ( do $\lim {{\left( \frac{4}{5} \right)}^{n}}=0$ ).

2. Ta có: $B=\lim \frac{36{{\left( \frac{4}{7} \right)}^{n}}-\frac{2}{7}}{{{\left( \frac{4}{7} \right)}^{n}}+7}=-\frac{2}{49}$ .

Dạng 3. Khử dạng vô định $\infty -\infty$

A. Phương pháp
- - Đối với dãy $\displaystyle {{u}_{n}}={{a}_{m}}{{n}^{m}}+{{a}_{m-1}}{{n}^{m-1}}+...+{{a}_{0}},\,\,{{a}_{m}}\ne 0$ thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất của n là n^m. Khi đó: nếu $\displaystyle {{a}_{m}}>0$ và nếu
- - Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng:
  
  $\displaystyle \sqrt{A}+B=\frac{A-{{B}^{2}}}{\sqrt{A}-B}$      $\displaystyle \sqrt[3]{A}+B=\frac{A+{{B}^{3}}}{\sqrt[3]{{{A}^{2}}}-B.\sqrt[3]{A}+{{B}^{2}}}$
  
       $\displaystyle \sqrt{A}+\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}$        $\displaystyle \sqrt[3]{A}-B=\frac{A-{{B}^{3}}}{\sqrt[3]{{{A}^{2}}}+B.\sqrt[3]{A}+{{B}^{2}}}$
  
       $\displaystyle \sqrt{A}-B=\frac{A-{{B}^{2}}}{\sqrt{A}+B}$      $\displaystyle \sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\frac{A+B}{\sqrt[3]{{{A}^{2}}}-\sqrt[3]{A.B}+\sqrt[3]{{{B}^{2}}}}$
  
       $\displaystyle \sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$        $\displaystyle \sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}=\frac{A-B}{\sqrt[3]{{{A}^{2}}}+\sqrt[3]{A.B}+\sqrt[3]{{{B}^{2}}}}$
- - Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định các giới hạn mới có cùng dạng vô định, chẳng hạn:
  
  $\displaystyle \sqrt[3]{{{n}^{3}}+2}-\sqrt{{{n}^{2}}+1}=\left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+2}-n \right)+\left( n-\sqrt{{{n}^{2}}+1} \right)$ ;
  
  $\displaystyle \sqrt{{{n}^{2}}+n}+\sqrt[3]{2-{{n}^{3}}}=\left( \sqrt{{{n}^{2}}+n}-n \right)+\left( n+\sqrt[3]{2-{{n}^{3}}} \right)$
- Đối với các biểu thức khác, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số lớn nhất, lũy thừa của n lớn nhất.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: Tính các giới hạn sau:

a)     $\displaystyle \lim \left( {{n}^{2}}-14n-7 \right)$     b)     $\displaystyle \lim \sqrt{2{{n}^{2}}-n+1}$     c)     $\displaystyle \lim \sqrt[3]{-8{{n}^{3}}+{{n}^{2}}-n+3}$

Lời giải:

a) $\displaystyle \lim \left( {{n}^{2}}-14n-7 \right)=\lim {{n}^{2}}\left( 1-\frac{14}{n}-\frac{7}{{{n}^{2}}} \right)=+\infty$ .

b) $\displaystyle \lim \sqrt{2{{n}^{2}}-n+1}=\lim \sqrt{{{n}^{2}}\left( 2-\frac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)}=+\infty$ .

c) $\displaystyle \lim \sqrt[3]{-8{{n}^{3}}+{{n}^{2}}-n+3}$ $\displaystyle =\lim \sqrt[3]{{{n}^{3}}\left( -8+\frac{1}{n}-\frac{1}{{{n}^{2}}}+\frac{3}{{{n}^{3}}} \right)}=-\infty$ .

Ví dụ 3.2: Tính các giới hạn sau:

a) $\displaystyle \lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}+n+1}-n \right)$ .   b) $\displaystyle \lim \left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)n$ .

c) $\displaystyle \lim \left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}}-\sqrt[3]{{{n}^{3}}+1} \right)$ .        d) $\displaystyle \lim \left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}}-\sqrt{{{n}^{2}}+3n} \right)$ .

Lời giải:

a) $\displaystyle \lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}+n+1}-n \right)=\lim \frac{\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)-{{n}^{2}}}{\sqrt{{{n}^{2}}+n+1}+n}$ $\displaystyle =\lim \frac{n+1}{\sqrt{{{n}^{2}}+n+1}+n}=\lim \frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{{{n}^{2}}}}+1}=\frac{1}{2}$ .

b) $\displaystyle \lim \left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)n$ $\displaystyle =\lim \frac{\left( n+1 \right)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}n=\lim \frac{n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

$\displaystyle =\lim \frac{n}{\sqrt{n}\left( \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1 \right)}=\lim \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=+\infty$ .

c) $\displaystyle \lim \left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}}-\sqrt[3]{{{n}^{3}}+1} \right)$ $\displaystyle =\lim \frac{\left( {{n}^{3}}+{{n}^{2}} \right)-\left( {{n}^{3}}+1 \right)}{{{\left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}}.\sqrt[3]{{{n}^{3}}+1}+{{\left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+1} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle =\lim \frac{{{n}^{2}}-1}{{{\left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}}.\sqrt[3]{{{n}^{3}}+1}+{{\left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+1} \right)}^{2}}}$
$\displaystyle =\lim \frac{1-\frac{1}{{{n}^{2}}}}{{{\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{n}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}.\sqrt[3]{1+\frac{1}{{{n}^{3}}}}+{{\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{n}^{3}}}} \right)}^{2}}}=\frac{1}{3}$ .

d) $\displaystyle \lim \left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}}-\sqrt{{{n}^{2}}+3n} \right)$ $\displaystyle =\lim \left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}}-n \right)+\lim \left( n-\sqrt{{{n}^{2}}+3n} \right)$

$\displaystyle =\lim \frac{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}-{{n}^{3}}}{{{\left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}} \right)}^{2}}+n.\sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}}+{{n}^{2}}}+\lim \frac{{{n}^{2}}-\left( {{n}^{2}}+3n \right)}{n+\sqrt{{{n}^{2}}+3n}}$

$\displaystyle =\lim \frac{{{n}^{2}}}{{{\left( \sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}} \right)}^{2}}+n.\sqrt[3]{{{n}^{3}}+{{n}^{2}}}+{{n}^{2}}}+\lim \frac{-3n}{n+\sqrt{{{n}^{2}}+3n}}$

$\displaystyle =\lim \frac{1}{{{\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{n}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{n}}+1}$ $\displaystyle +\lim \frac{-3}{1+\sqrt{1+\frac{3}{n}}}=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}=-\frac{7}{6}$

Dạng 4. Cấp số nhân lùi vô hạn

A. Phương pháp

Một cấp số nhân có công bội q với $\displaystyle |q|<1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ta có : $\displaystyle S={{u}_{1}}\text{+ }{{u}_{1}}q+{{u}_{1}}{{q}^{2}}\text{+}\ldots =\frac{{{u}_{1}}}{1-q}$ , với $\displaystyle |q|<1$ .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 4.1: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: 0,444…; 0,212121…

Lời giải:

Ta có: $0,444...=\frac{4}{10}+\frac{4}{100}+\frac{4}{1000}+...$

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có ${{u}_{1}}=\frac{4}{10},\,q=\frac{1}{10}$ .

Vậy $0,444...=\frac{4}{10}+\frac{4}{100}+\frac{4}{1000}+...=\frac{\frac{4}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{4}{9}$ .

Tương tự có $0,212121...=\frac{21}{100}+\frac{21}{10000}+\frac{21}{1000000}+...=\frac{\frac{21}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{7}{33}$ .

Ví dụ 4.2: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là $\displaystyle \frac{5}{3}$ , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là $\displaystyle \frac{39}{25}$ . Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.

Lời giải:

Theo giả thiết ta có: $S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}=\frac{5}{3}\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{5}{3}\left( 1-q \right)$ .

${{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}=\frac{39}{25}\Leftrightarrow {{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=\frac{39}{25}$

$\Leftrightarrow \frac{5}{3}\left( 1-q \right)\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)=\frac{39}{25}\Leftrightarrow 1-{{q}^{3}}=\frac{117}{125}\Leftrightarrow q=\frac{2}{5}$ $\Rightarrow {{u}_{1}}=1$ .