Cấp số nhân

I. Định nghĩa
Cấp số nhân là 1 dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1 số q không đổi, nghĩa là:

$\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân $<=>\forall n\ge 2,{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}.q$
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Ví dụ: Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ ; với ${{u}_{n}}={{2}^{n}}$ , là một cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}=2$ và công bội q = 2.

II. Tính chất
1. Định lí
Nếu ${{u}_{k-1}},{{u}_{k}},{{u}_{k+1}}\left( k>1 \right)$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân thì ta có:

$u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}$
Như vậy, mỗi số hạng trừ số hạng đầu và số hạng cuối (cấp số nhân hữu hạn) có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng đứng cạnh đó.

2. Số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ của một cấp số nhân: (công bội q khác 0)

${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$

III. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân:
Gọi ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}$ là tổng số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với q ≠ 1, ta có: