Công thức lượng giác

MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Công thức cộng:

$\begin{array}{l}\sin (a+b)\,\,=\,\,\sin a.\cos b\,\,+\,\,\sin b.\cos a\\\sin (a-b)\,\,=\,\,\sin a.\cos b-\sin b.\cos a\\\cos (a+b)\,\,=\,\,\cos a.\cos b\,\,-\,\,\sin a.\sin b\\\cos (a-b)\,\,=\,\,\cos a.\cos b\,+\,\,\sin a.\sin b\\\tan (a+b)\,\,=\,\,\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}\\\tan (a-b)\,\,=\,\,\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}\end{array}$

2. Công thức nhân đôi, hạ bậc:

a) Công thức nhân đôi.

$\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha .\cos \alpha$

$\cos 2\alpha \,\,=\,\,{{\cos }^{2}}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha \,\,=\,\,2{{\cos }^{2}}\alpha -1\,\,=\,\,1-2{{\sin }^{2}}\alpha$

$\tan 2\alpha \,\,=\,\,\frac{2\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }$

b) Công thức hạ bậc.

$\begin{array}{l}{{\sin }^{2}}\alpha \,\,=\,\,\frac{1-\cos 2\alpha }{2}\\{{\cos }^{2}}\alpha \,=\,\,\frac{1+\cos 2\alpha }{2}\\{{\tan }^{2}}\alpha \,=\,\,\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }\end{array}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng.

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \cos (a+b)+\cos (a-b) \right]\\\sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left[ \cos (a+b)-\cos (a-b) \right]\\\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \sin (a+b)+\sin (a-b) \right]\end{array}$

4. Công thức biển đổi tổng thành tích.

$\cos a+\cos b\,\,=\,\,2\cos \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}$

$\cos a-\cos b\,\,=\,\,-2\sin \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}$

$\sin a+\sin b\,\,=\,\,2\sin \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}$

$\sin a-\sin b\,\,=\,\,2\cos \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}$

$\tan a+\tan b\,\,=\,\,\,\frac{\sin (a+b)}{\cos a.\cos b}$

$\tan a-\tan b\,\,=\,\,\frac{\sin (a-b)}{\cos a.\cos b}$

$\cot a+\cot b\,\,=\,\,\frac{\sin (a+b)}{\sin a.\sin b}$

$\cot a-\cot b\,\,=\,\,\frac{\sin (b-a)}{\sin a.\sin b}$

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC.

1. Phương pháp giải.

Sử dụng công thức lượng giác một cách linh hoạt để biến đổi biểu thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác của góc không đặc biệt và đưa về giá trị lượng giác đặc biệt.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: a)Tính giá trị lượng giác sau: $\cos {{795}^{0}}$ .

b)Tính giá trị lượng giác sau: $\sin {{18}^{0}}$

c)Tính các giá trị lượng giác sau: $\,\tan \frac{7\pi }{12}$

d)Tính các giá trị lượng giác sau: $\cot \frac{5\pi }{8}$

Lời giải:

a) Vì ${{795}^{0}}={{75}^{0}}+{{2.360}^{0}}={{30}^{0}}+{{45}^{0}}+{{2.360}^{0}}$ nên

$\cos {{795}^{0}}=\cos {{75}^{0}}=\cos {{30}^{0}}\cos {{45}^{0}}-\sin {{30}^{0}}\sin {{45}^{0}}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

b) Vì ${{54}^{0}}+{{36}^{0}}={{90}^{0}}$ nên $\sin {{54}^{0}}=\cos {{36}^{0}}$

Mà $\cos {{36}^{0}}=\cos \left( {{2.18}^{0}} \right)=1-2{{\sin }^{2}}{{18}^{0}}$

$\sin {{54}^{0}}=\sin \left( {{18}^{0}}+{{36}^{0}} \right)=\sin {{18}^{0}}\cos {{36}^{0}}+\sin {{36}^{0}}\cos {{18}^{0}}$

$=\sin {{18}^{0}}.\left( 1-2{{\sin }^{2}}{{18}^{0}} \right)+2\sin {{18}^{0}}{{\cos }^{2}}{{18}^{0}}$ $=\sin {{18}^{0}}.\left( 1-2{{\sin }^{2}}{{18}^{0}} \right)+2\sin {{18}^{0}}\left( 1-{{\sin }^{2}}{{18}^{0}} \right)$

$=3\sin {{18}^{0}}-4{{\sin }^{3}}{{18}^{0}}$

Do đó $3\sin {{18}^{0}}-4{{\sin }^{3}}{{18}^{0}}=1-2{{\sin }^{2}}{{18}^{0}}$ $\Leftrightarrow \left( \sin {{18}^{0}}-1 \right)\left( 4{{\sin }^{2}}{{18}^{0}}+2\sin {{18}^{0}}-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \sin {{18}^{0}}=1$ hoặc $\sin {{18}^{0}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ hoặc $\sin {{18}^{0}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Vì $0<\sin {{18}^{0}}<1$ nên $\sin {{18}^{0}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .

c) $\tan \frac{7\pi }{12}=\tan \left( \frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{3}+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \frac{\pi }{3}\tan \frac{\pi }{4}}$ $=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=-2-\sqrt{3}$

d) $\cot \frac{5\pi }{8}=\cot \left( \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{8} \right)=-\tan \frac{\pi }{8}$

Ta lại có $1=\tan \frac{\pi }{4}=\tan \left( 2.\frac{\pi }{8} \right)=\frac{2\tan \frac{\pi }{8}}{1-{{\tan }^{2}}\frac{\pi }{8}}$

suy ra $1-{{\tan }^{2}}\frac{\pi }{8}=2\tan \frac{\pi }{8}\Leftrightarrow {{\tan }^{2}}\frac{\pi }{8}+2\tan \frac{\pi }{8}-1=0$

$\Leftrightarrow \tan \frac{\pi }{8}=-1-\sqrt{2}$ hoặc $\tan \frac{\pi }{8}=-1+\sqrt{2}$

Do $\tan \frac{\pi }{8}>0$ nên $\tan \frac{\pi }{8}=-1+\sqrt{2}$

Vậy $\cot \frac{5\pi }{8}=1-\sqrt{2}$

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác sau:

a) $A=\sin {{22}^{0}}30'\cos {{202}^{0}}30'$

b) $B=4{{\sin }^{4}}\frac{\pi }{16}+2\cos \frac{\pi }{8}$

c) $C=\frac{\sin \frac{\pi }{5}-\sin \frac{2\pi }{15}}{\cos \frac{\pi }{5}-\cos \frac{2\pi }{15}}$

d) $D=\sin \frac{\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}$

Lời giải:

a) Cách 1: Ta có $\cos {{202}^{0}}30'=\cos \left( {{180}^{0}}+{{22}^{0}}30' \right)=-\cos {{22}^{0}}30'$

Do đó $A=-\sin {{22}^{0}}30'\cos {{22}^{0}}30'=-\frac{1}{2}\sin {{45}^{0}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

Cách 2: $A=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( {{22}^{0}}30'+{{202}^{0}}30' \right)+\sin \left( {{22}^{0}}30'-{{202}^{0}}30' \right) \right]$ $=\frac{1}{2}\left[ \sin {{225}^{0}}+\sin \left( -{{180}^{0}} \right) \right]$

$=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( {{180}^{0}}+{{45}^{0}} \right)-\sin {{180}^{0}} \right]=-\frac{1}{2}\sin {{45}^{0}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$

b) $B={{\left( 2{{\sin }^{2}}\frac{\pi }{16} \right)}^{2}}+2\cos \frac{\pi }{8}={{\left[ 1-\cos \left( 2.\frac{\pi }{16} \right) \right]}^{2}}+2\cos \frac{\pi }{8}$

$=1-2\cos \frac{\pi }{8}+{{\cos }^{2}}\frac{\pi }{8}+2\cos \frac{\pi }{8}=1+\frac{1+\cos \frac{\pi }{4}}{2}$ $=1+\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{6+\sqrt{2}}{4}$

c) $C=\frac{\sin \frac{\pi }{5}-\sin \frac{2\pi }{15}}{\cos \frac{\pi }{5}-\cos \frac{2\pi }{15}}$ $=\frac{2\cos \frac{1}{2}\left( \frac{\pi }{5}+\frac{2\pi }{15} \right)\sin \frac{1}{2}\left( \frac{\pi }{5}-\frac{2\pi }{15} \right)}{-2\sin \frac{1}{2}\left( \frac{\pi }{5}+\frac{2\pi }{15} \right)\sin \frac{1}{2}\left( \frac{\pi }{5}-\frac{2\pi }{15} \right)}$
$=-\frac{\cos \frac{\pi }{6}}{\sin \frac{\pi }{6}}=-\cot \frac{\pi }{6}=-\sqrt{3}$

d) $D=\left( \sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9} \right)-\sin \frac{5\pi }{9}=$ $2\sin \frac{4\pi }{9}.\cos \frac{\pi }{3}-\sin \frac{5\pi }{9}=\sin \frac{4\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}=0$

DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ: Cho $\cos 2x=-\frac{4}{5}\text{ }$ , với $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$ .

a) Tính $\sin x,$ .

b) Tính $\,\cos x$ .

c) Tính $\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)$ .

d) Tính $\,\cos \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)$ .

Lời giải:

Vì $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$ nên $\sin x>0,\text{ }\cos x>0$ .

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có :

${{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{9}{10}\Rightarrow \sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}$

${{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{10}\Rightarrow \cos x=\frac{1}{\sqrt{10}}$

Theo công thức cộng, ta có

$\sin \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}$ $=\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}$

$\cos \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)=\cos 2x\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}\sin 2x$ $=-\frac{4}{5}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.2.\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{\sqrt{10}}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$

DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN.

1. Phương pháp giải.

Để chứng minh đẳng thức lượng giác ta có các cách biển đổi: vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác.

Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác $\alpha$ làm cho biểu thức xác định thì

a) ${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha =\frac{3}{4}+\frac{\cos 4\alpha }{4}$

b) ${{\sin }^{6}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha =\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\cos 4\alpha$

c) $\displaystyle \frac{1-\sin 2\alpha }{1+\sin 2\alpha }={{\cot }^{2}}(\frac{\pi }{4}+\alpha )$

Lời giải:

a) Ta có ${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha ={{\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right)}^{2}}$ $-2{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha =1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2\alpha$

$=1-\frac{1-\cos 4\alpha }{4}=\frac{3}{4}+\frac{\cos 4\alpha }{4}$

b) Ta có

${{\sin }^{6}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha ={{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \right)}^{3}}+{{\left( {{\cos }^{2}}\alpha \right)}^{3}}$ $+3{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha \left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right)$ $-3{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha \left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right)$

$={{\left( {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha \right)}^{3}}-3{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha$ $=1-\frac{3}{4}{{\left( 2\sin \alpha \cos \alpha \right)}^{2}}=1-\frac{3}{4}{{\sin }^{2}}2\alpha$

$=1-\frac{3}{8}\left( 1-\cos 4\alpha \right)=\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\cos 4\alpha$

c) Ta có $\frac{1-\sin 2\alpha }{1+\sin 2\alpha }=\frac{{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha }{{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }$ $=\frac{{{\left( \sin \alpha -\cos \alpha \right)}^{2}}}{{{\left( \sin \alpha +\cos \alpha \right)}^{2}}}$

$=\frac{{{\left[ \sqrt{2}\cos \left( \alpha +\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}}{{{\left[ \sqrt{2}\sin \left( \alpha +\frac{\pi }{4} \right) \right]}^{2}}}=\frac{2{{\cos }^{2}}\left( \alpha +\frac{\pi }{4} \right)}{2{{\sin }^{2}}\left( \alpha +\frac{\pi }{4} \right)}={{\cot }^{2}}\left( \alpha +\frac{\pi }{4} \right)$