Dấu của nhị thức bậc nhất

DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó.

a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất:

Nhị thức bậc nhất (đối với $\displaystyle x$ ) là biểu thức dạng $ax+b$ , trong đó $a$ và $b$ là hai số cho trước với $a\ne 0$ .

$\displaystyle {{x}_{0}}=-\frac{b}{a}$ được gọi là nghiệm cuả nhị thức bậc nhất $f\left( x \right)=ax+b$ .

b) Dấu của nhị thức bậc nhất

Định lí: Nhị thức bậc nhất $f\left( x \right)=ax+b$ cùng dấu với hệ số $a$ khi $\displaystyle x$ lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số $a$
$\displaystyle x$ nhỏ hơn nghiệm của nó.

2. Một số ứng dụng.

a) Giải bất phương trình tích

· Dạng $P(x)>0$ (1) (trong đó $P\left( x \right)$ là tích các nhị thức bậc nhất.)

· Cách giải: Lập bảng xét dấu của $\displaystyle P\left( x \right)$ . Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).

b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

· Dạng $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ (2) (trong đó $\displaystyle P\left( x \right),\text{ }Q\left( x \right)$ là tích những nhị thức bậc nhất.)

· Cách giải: Lập bảng xét dấu của $\frac{P(x)}{Q(x)}$ . Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).

Chú ý: 1) Không nên qui đồng và khử mẫu.

2) Rút gọn bớt các nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý trong việc rút gọn để tránh làm mất nghiệm).

c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ)

· Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

Chú ý: Với $B>0$ ta có $\left| A \right|<B\Leftrightarrow -B<A<B$ ; $\left| A \right|>B\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A<-B\\A>B\end{array} \right.$ .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

a) $-2x+3$ b) $4x-12$ c) $\displaystyle {{x}^{2}}-4$ d) $-2{{x}^{2}}+5x-2$

Lời giải:

a) Ta có $-2x+3=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$ , $\displaystyle a=-2<0$ .

Bảng xét dấu

b) Ta có $4x-12=0\Leftrightarrow x=3$ , $\displaystyle a=4>0$ .

Bảng xét dấu

c) Ta có $\displaystyle {{x}^{2}}-4=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)$ , $\displaystyle x-2=0\Leftrightarrow x=2,\,\,x+2=0\Leftrightarrow x=-2$

Bảng xét dấu

d) Ta có $- 2 x^{2} + 5 x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2; x = \frac{1}{2}$

Suy ra $-2{{x}^{2}}+5x-2=-2\left( x-2 \right)\left( x-\frac{1}{2} \right)=\left( x-2 \right)\left( 1-2x \right)$

Bảng xét dấu

DẠNG 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI TOÁN.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

a) $\left( x-1 \right)\left( 2-3x \right)\ge 0$ b) $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)<0$

c) $\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right)\le 0$ d) $x\left( \sqrt{3}x-3 \right)\left( 3-{{x}^{2}} \right)\le 0$

Lời giải:

a) Ta có $(x - 1) (2 - 3 x) = 0 \Leftrightarrow x = 1; x = \frac{2}{3}$

Bảng xét dấu

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[ \frac{2}{3};1 \right]$ .

b) Ta có $\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)=\left( x-2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)$

Bảng xét dấu

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 2;4 \right)$ .

c) Ta có $\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right)\le 0\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\le 0$

$\Leftrightarrow \left( 2x-1 \right)\left( x-1 \right)\le 0$ (vì ${{x}^{2}}+x+1={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0$ )

Bảng xét dấu

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left[ \frac{1}{2};1 \right]$ .

d) Ta có $x\left( \sqrt{3}x-3 \right)\left( 3-{{x}^{2}} \right)\le 0\Leftrightarrow x\sqrt{3}\left( x-\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{3}-x \right)\left( \sqrt{3}+x \right)\le 0$

$\Leftrightarrow -\sqrt{3}x{{\left( x-\sqrt{3} \right)}^{2}}\left( x+\sqrt{3} \right)\le 0$ $\Leftrightarrow x = \sqrt{3}$ hoặc $x (x + \sqrt{3}) \geq 0$