Dấu của tam thức bậc hai

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

I. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với $x$ ) là biểu thức dạng $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c$ . Trong đó $a,b,c$ là nhứng số cho trước với $a\ne 0$ .

Nghiệm của phương trình $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai
$\displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ ; $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ và $\Delta '=b{{'}^{2}}-ac$ theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $\displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ .

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

Nhận xét:
Cho tam thức bậc hai $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c$

· $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c>0,\,\forall x\in R\,\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a>0\\\Delta <0\end{array} \right.$

· $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c\ge 0,\,\forall x\in R\,\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a>0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$

· $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c<0,\,\forall x\in R\,\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a<0\\\Delta <0\end{array} \right.$

· $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c\le 0,\,\forall x\in R\,\,\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}a<0\\\Delta \le 0\end{array} \right.$

II. Bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Định nghĩa và cách giải

Bất phương trình bậc hai (ẩn $x$ ) là bất phương trình có một trong các dạng $f\left( x \right)>0,\,\,f(x)<0,\,\,f(x)\ge 0,\,\,f(x)\le 0$ , trong đó $f(x)$ là một tam thức bậc hai.

Cách giải. Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

2. Ứng dụng

Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu của chúng

DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI.

1. Phương pháp giải.

Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó.

* Đối với đa thức bậc cao $P(x)$ ta làm như sau

· Phân tích đa thức $P\left( x \right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)

· Lập bảng xét dấu của $\displaystyle P\left( x \right)$ . Từ đó suy ra dấu của nó .

* Đối với phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (trong đó $P\left( x \right),\,\,Q\left( x \right)$ là các đa thức) ta làm như sau

· Phân tích đa thức $P\left( x \right),\,\,Q\left( x \right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất)

· Lập bảng xét dấu của $\frac{P(x)}{Q(x)}$ . Từ đó suy ra dấu của nó.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Xét dấu của các tam thức sau

a) $3{{x}^{2}}-2x+1$ b) $-{{x}^{2}}+4x+5$ c) $-4{{x}^{2}}+12x-9$

d) $3{{x}^{2}}-2x-8$ e) $25{{x}^{2}}+10x+1$ f) $-2{{x}^{2}}+6x-5$

Lời giải:

a) Ta có $\Delta '=-2<0,\,\,a=3>0$ suy ra $3{{x}^{2}}-2x+1>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$

b) Ta có $- x^{2} + 4 x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = - 1; x = 5$

Bảng xét dấu

Suy ra $-{{x}^{2}}+4x+5>0\Leftrightarrow x\in \left( -1;5 \right)$ và $-{{x}^{2}}+4x+5<0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 5;+\infty \right)$

c) Ta có $\Delta '=0,\,\,a<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+12x-9<0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3}{2} \right\}$

d) Ta có $3 x^{2} - 2 x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2, x = - \frac{4}{3}$

Bảng xét dấu

Suy ra $\displaystyle 3{{x}^{2}}-2x-8>0\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-\frac{4}{3} \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$ và $3{{x}^{2}}-2x-8<0\Leftrightarrow x\in \left( -\frac{4}{3};2 \right)$

e) Ta có $\Delta '=0,\,\,a>0$ suy ra $25{{x}^{2}}+10x+1>0\,\,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{5} \right\}$

f) Ta có $\Delta '=-1<0,\,\,a<0$ suy ra $-2{{x}^{2}}+6x-5<0\,\,\forall x\in \mathbb{R}$

Nhận xét:

Cho tam thức bậc hai $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c$ . Xét nghiệm của tam thức, nếu:

* Vô nghiệm khi đó tam thức bậc hai $\displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ cùng dấu với $a$ với mọi $\displaystyle x$

* Nghiệm kép khi đó tam thức bậc hai $\displaystyle f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ cùng dấu với $a$ với mọi $\displaystyle x\ne -\frac{b}{2\text{a}}$

* Có hai nghiệm $\displaystyle f\left( x \right)$ cùng dấu với $a$ khi và chỉ khi $\displaystyle x\in \left( -\infty ;{{x}_{1}} \right)\cup \left( {{x}_{2}};+\infty \right)$ (ngoài hai nghiệm) và $\displaystyle f\left( x \right)$ trái dấu với $a$ khi và chỉ khi $\displaystyle x\in \left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)$ (trong hai nghiệm)(ta có thể nhớ câu là trong trái ngoài cùng)

Ví dụ 2: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của các biểu thức $f(x)={{x}^{2}}+2mx+3m-2$

Lời giải:

Tam thức $f(x)$ có $a=1>0$ và $\Delta '={{m}^{2}}-3m+2$ .

* Nếu $1<m<2\Rightarrow \Delta '<0\Rightarrow f(x)>0\text{ }\forall x\in R$ .

* Nếu $\left[ \begin{array}{l}m=1\\m=2\end{array} \right.\Rightarrow \Delta '=0\Rightarrow f(x)\ge 0\text{ }\forall x\in R$ và $f(x)=0\Leftrightarrow x=-m$

* Nếu $\left[ \begin{array}{l}m>2\\m<1\end{array} \right.\Rightarrow \Delta '>0\Rightarrow f(x)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-m-\sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$ và ${{x}_{2}}=-m+\sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$ . Khi đó:

+) $f(x)>0\Leftrightarrow x\in (-\infty ;{{x}_{1}})\cup ({{x}_{2}};+\infty )$

+) $f(x)<0\Leftrightarrow x\in ({{x}_{1}};{{x}_{2}})$ .

DẠNG TOÁN 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:

a) $-3{{x}^{2}}+2x+1<0$ b) $\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}+9x+7>0\\{{x}^{2}}+x-6<0\end{array} \right.$

c) $\left( 1-2x \right)\left( {{x}^{2}}-x-1 \right)>0$ d) ${{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+2x+3\le 0$

Lời giải:

a) Tam thức $f(x)=-3{{x}^{2}}+2x+1$ có $a=-3<0$ và có hai nghiệm ${{x}_{1}}=-\frac{1}{3};$ ${{x}_{2}}=1$ ( $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ ).

Suy ra $-3{{x}^{2}}+2x+1<0\Leftrightarrow x<-\frac{1}{3}$ hoặc $x>1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình : $S=(-\infty ;-\frac{1}{3})\cup (1;+\infty )$ .

b) Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}+9x+7>0\\{{x}^{2}}+x-6<0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 < x < 2 \\ - 3 < x < 2 \end{cases}$

Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=\left( -1;2 \right)$ .

c) Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $\displaystyle \text{S}=\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1}{2} \right)\cup \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2};+\infty \right)$

d) Bất phương trình $({{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4)-({{x}^{2}}-2x+1)\le 0$

$\Leftrightarrow {{({{x}^{2}}-2)}^{2}}-{{(x-1)}^{2}}\le 0$
$\Leftrightarrow ({{x}^{2}}+x-3)({{x}^{2}}-x-1)\le 0$ .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

$S=\left[ \frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right]\cup \left[ \frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right]$ .

DẠNG TOÁN 3: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$ thì

a) Phương trình $m{{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+1=0$ luôn có nghiệm

b) Phương trình $\left( {{m}^{2}}+5 \right){{x}^{2}}-\left( \sqrt{3}m-2 \right)x+1=0$ luôn vô nghiệm

Lời giải

a) Với $m=0$ phương trình trở thành $-2x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ suy ra phương trình có nghiệm

Với $m\ne 0$ , ta có $\Delta ={{\left( 3m+2 \right)}^{2}}-4m=9{{m}^{2}}+8m+4$

Vì tam thức $9{{m}^{2}}+8m+4$ có ${{a}_{m}}=9>0,\,\,\Delta {{'}_{m}}=-20<0$ nên $9{{m}^{2}}+8m+4>0$ với mọi $m$

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi $m$ .

b) Ta có $\Delta ={{\left( \sqrt{3}m-2 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+5 \right)=-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-16$

Vì tam thức $-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-8$ có ${{a}_{m}}=-1<0,\,\,\Delta {{'}_{m}}=-4<0$ nên $-{{m}^{2}}-4\sqrt{3}m-8<0$ với mọi $m$

Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi $m$ .

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của $m$ để biểu thức sau luôn âm

a) $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1$

b) $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5$

Lời giải:

a) Với $m=0$ thì $f\left( x \right)=-x-1$ lấy cả giá trị dương(chẳng hạn $\displaystyle f\left( -2 \right)=1$ ) nên $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với $m\ne 0$ thì $f\left( x \right)=m{{x}^{2}}-x-1$ là tam thức bậc hai dó đó $f (x) < 0, \forall x \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a = m < 0 \\ ∆ = 1 + 4 m < 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} m < 0 \\ m > - \frac{1}{4} \end{array} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < m < 0$

Vậy với $\displaystyle -\frac{1}{4}<m<0$ thì biểu thức $f\left( x \right)$ luôn âm.

b) Với $m=4$ thì $g\left( x \right)=-1<0$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với $m\ne 4$ thì $g\left( x \right)=\left( m-4 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-8 \right)x+m-5$ là tam thức bậc hai dó đó

$g (x) < 0, \forall x \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} a = m - 4 < 0 \\ ∆' = (m - 4)^{2} - (m - 4) (m - 5) < 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} m < 4 \\ m - 4 < 0 \end{array} \Leftrightarrow m < 4$