Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT

I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\displaystyle x,\,\,y$ có dạng tổng quát là $\displaystyle ax+by\le c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\displaystyle \left( ax+by<c;\,\,\,ax+by\ge c;\,\,\,ax+by>c \right)$

trong đó $\displaystyle a,\,\,b,\,\,c$ là những số thực đã cho, $\displaystyle a$ và $\displaystyle b$ không đồng thời bằng $\displaystyle 0,\,\,x$ và $\displaystyle y$ là các ẩn số.

II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.

Trong mặt phẳng tọa độ $\displaystyle Oxy,$ tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $\displaystyle \left( 1 \right)$ được gọi là miền nghiệm của nó.

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình $\displaystyle ax+by\le c$ như sau (tương tự cho bất phương trình $\displaystyle ax+by\ge c$ )

Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ $\displaystyle Oxy,$ vẽ đường thẳng $\displaystyle \Delta$ : $\displaystyle ax+by=c.$

Bước 2. Lấy một điểm $\displaystyle {{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ không thuộc $\displaystyle \Delta$ (ta thường lấy gốc tọa độ $\displaystyle O$ )

Bước 3. Tính $\displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}$ và so sánh $\displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}$ với $\displaystyle c.$

Bước 4. Kết luận:

Nếu $\displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}<c$ thì nửa mặt phẳng bờ $\displaystyle \Delta$ chứa $\displaystyle {{M}_{0}}$ là miền nghiệm của $\displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}\le c.$

Nếu $\displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}>c$ thì nửa mặt phẳng bờ $\displaystyle \Delta$ không chứa $\displaystyle {{M}_{0}}$ là miền nghiệm của $\displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}\le c.$

Chú ý:

Miền nghiệm của bất phương trình $\displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}\le c$ bỏ đi đường thẳng $\displaystyle ax+by=c$ là miền nghiệm của bất phương trình $\displaystyle a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}<c.$

III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\displaystyle x,\,\,y$ mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

B. BÀI TẬP

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.

Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:

a) $\displaystyle 2x-y\ge \text{ }0$ b) $\frac{x-2y}{2}>\frac{2x+y+1}{3}$

Lời giải

a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\displaystyle \left( d \right):\text{ 2}x-y=0$ . Ta có $\left( d \right)$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm $\displaystyle M\left( 1;0 \right)$ . Ta thấy (1; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa điểm $\displaystyle M\left( 1;0 \right)$ (Miền không được tô màu trên hình vẽ).

b) Ta có

$\frac{x-2y}{2}>\frac{2x-y+1}{3}\Leftrightarrow 3\left( x-2y \right)-2\left( 2x-y+1 \right)>0$

$\Leftrightarrow -x-4y-2>0\Leftrightarrow x+4y+2<0$

Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng $\Delta :x+4y+2=0$

Xét điểm $\displaystyle \text{O}\left( 0;0 \right)$ , thấy $\displaystyle \left( 0;0 \right)$ không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ (không kể đường thẳng $\Delta$ ) và không chứa điểm $\displaystyle \text{O}\left( 0;0 \right)$ (Miền không được tô màu trên hình vẽ).

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} x + y - 2 \geq 0 \\ x - 3 y + 3 \leq 0 \end{cases}$ b) $\left\{ \begin{array}{l}x+y>0\\2x-3y+6>0\\x-2y+1\ge 0\end{array} \right.$

Lời giải

a) Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+y-2=0\,\,,\,\,\left( d' \right):x-3y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$

Xét điểm $\displaystyle \text{O}\left( 0;0 \right)$ , thấy $\displaystyle \left( 0;0 \right)$ không phải là nghiệm của bất phương trình $x+y-2\ge 0$ và $x-3y+3\le 0$ do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( d' \right)$ .

b) Vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+y=0\,,\,\,\left( d' \right):2x-3y+6=0$ và $\left( d'' \right):x-2y+1=0\,$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$

Xét điểm $\displaystyle \text{O}\left( 0;0 \right)$ , thấy $\displaystyle \left( 0;0 \right)$ là nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\ge 0$ . Do đó $\displaystyle \text{O}\left( 0;0 \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\ge 0$ .

Xét điểm $M\left( 1;0 \right)$ ta thấy $\left( 1;0 \right)$ là nghiệm của bất phương trình $x+y>0$ do đó điểm $M\left( 1;0 \right)$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x+y>0$ .

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng $\left( d'' \right)$

DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ.

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $T\left( x,y \right)=ax+by$ với $\left( x;y \right)$ nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm $S$ là đa giác.

Bước 2: Tính giá trị của $F$ tương ứng với $\left( x;y \right)$ là tọa độ của các đỉnh của đa giác.

Bước 3: Kết luận:

$\bullet$ Giá trị lớn nhất của $F$ là số lớn nhất trong các giá trị tìm được.

$\bullet$ Giá trị nhỏ nhất của $F$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.

Ví dụ 1: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Lời giải

Phân tích bài toán: Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là $\displaystyle x$ (phút), trên truyền hình là $y$ (phút). Chi phí cho việc này là: $\displaystyle 800.000x+4.000000y$ (đồng)

Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức:

$\displaystyle ~800.000x+4.000.000y~\le 16.000.000$

hay $\displaystyle ~x\text{ }+\text{ 5}y~-20\le \text{0}$

Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: $\displaystyle x\ge 5,\text{ }y\le 4$ .

Đồng thời do $x,y$ là thời lượng nên $\displaystyle x\ge 0,\text{ }y\ge 0$ . Hiệu quả chung của quảng cáo là: $\displaystyle x+6y$ .

Bài toán trở thành: Xác định $x,y$ sao cho: $\displaystyle M\left( x;y \right)=x+6y$ đạt giá trị lớn nhất.

Với các điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}~x+\text{5}y~-20\le \text{0}\\x\ge 5\\0\le y\le 4\end{array} \right.$ (*)

Trước tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+5y-20=0,\,\,\left( d' \right):x=5,\,\,\left( d'' \right):y=4$

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tam giác) không tô màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của $\displaystyle M\left( x;y \right)=x+6y$ đạt tại một trong các điểm $\displaystyle \left( 5;3 \right),\,\,\left( 5;0 \right),\,\,\left( 20;0 \right)$

Ta có $\displaystyle M\left( 5;3 \right)=23,\,\,M\left( 5;0 \right)=5,\,\,M\left( 20;0 \right)=20$ suy ra giá trị lớn nhất của $\displaystyle M\left( x;y \right)$ bằng $23$ tại $\displaystyle \left( 5;3 \right)$ tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

Ví dụ 2: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Lời giải

Phân tích bài toán: Gọi $x$ ( $\displaystyle x\ge 0$ ) là số kg loại I cần sản xuất, $y$ ( $y\ge 0$ ) là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là $2x+4y$ , thời gian là $\displaystyle 30x+15y$ có mức lời là $40000x+30000y$

Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc suy ra $2x+4y\le 200$ hay $x+2y-100\le 0$ , $\displaystyle 30x\,\,+\,\,15y\,\,\le \,\,1200$ hay $\displaystyle 2x+y-80\le 0$ .

Bài toán trở thành: Tìm $\displaystyle x,y$ thoả mãn hệ $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+2y-100\le 0\\2x\,\,+\,y-80\,\,\le 0\\x\ge 0\\y\ge 0\end{array} \right.$ (*) sao cho $\displaystyle L\left( x;y \right)=40000x+30000y$ đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $\left( d \right):x+2y-100=0,\,\,\left( d' \right):2x+y-80=0$

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tứ giác) không tô màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của $\displaystyle L\left( x;y \right)=40000x+30000y$ đạt tại một trong các điểm $\displaystyle \left( 0;0 \right),\,\,\left( 40;0 \right),\,\,\left( 0;50 \right),\,\,\left( 20;40 \right)$ . Ta có $\displaystyle L\left( 0;0 \right)=0,\,\,L\left( 40;0 \right)=1600000,$
$\displaystyle L\left( 0;50 \right)=1500000,\,\,L\left( 20;40 \right)=2000000$ suy ra giá trị lớn nhất của $\displaystyle L\left( x;y \right)$ là $\displaystyle 2000000$ khi $\left( x;y \right)=\left( 20;40 \right)$ .