Đại cương về phương trình

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hai hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ có tập xác định lần lượt là ${{\text{D}}_{f}}$ và ${{\text{D}}_{g}}$ . Đặt $\text{D}={{D}_{f}}\cap {{D}_{g}}.$ Mệnh đề chứa biến $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ được gọi là phương trình một ẩn ; $x$ được gọi là ẩn số (hay ẩn) và $\text{D}$ gọi là tập xác định của phương trình.

${{x}_{0}}\in D$ gọi là một nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ nếu $f(x)=g(x)$ là mệnh đề đúng.

Chú ý: Các nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ là các hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right).$

2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

a) Phương trình tương đương

Hai phương trình ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)$ và ${{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$ được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\Leftrightarrow {{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right).$

Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương đương.

b) Phương trình hệ quả

${{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$ gọi là phương trình hệ quả của phương trình ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)$ nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right).$

Kí hiệu là ${{f}_{1}}\left( x \right)={{g}_{1}}\left( x \right)\Rightarrow {{f}_{2}}\left( x \right)={{g}_{2}}\left( x \right)$

c) Các định lý

Định lý 1: Cho phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)$ có tập xác định $\text{D};\text{ }y=h\left( x \right)$ là hàm số xác định trên $\text{D}$ . Khi đó trên $\text{D}$ , phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:

$(1)f\left( x \right)+h\left( x \right)=g\left( x \right)+h\left( x \right)$

$(2)f\left( x \right).h\left( x \right)=g\left( x \right).h\left( x \right)$ nếu $h\left( x \right)\ne 0$ với mọi $x\in D$

Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

$f\left( x \right)=g\left( x \right)\Rightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{g}^{2}}\left( x \right).$

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý

+ Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định.
+ Nếu hai vế của phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế của nó ta thu được phương trình tương đương.
+ Khi biến đổi phương trình thu được phương trình hệ quả thì khi tìm được nghiệm của phương trình hệ quả phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

B. Bài tập

DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp giải

– Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f(x), g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài).

– Điều kiện để biểu thức

$(\sqrt{f\left( x \right)}\text{ })$ xác định là $f\left( x \right)\ge 0$
$(\frac{1}{f\left( x \right)})$ xác định là $f\left( x \right)\ne 0$
$(\frac{1}{\sqrt{f\left( x \right)}}$ ) xác định là $\displaystyle f\left( x \right)>0$

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

a) $x+\frac{5}{{{x}^{2}}-4}=1$

b) $1+\sqrt{3-x}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=\sqrt{x-2}$

Hướng dẫn:

a) Điều kiện xác định của phương trình là ${{x}^{2}}-4\ne 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\ne 4\Leftrightarrow x\ne \text{ }\!\!~\!\!\text{ }\pm 2.$

b) Điều kiện xác định của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}3-x\ge 0\\x-2\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\le 3\\x\ge 2\end{array} \right.\Leftrightarrow 2\le x\le 3$

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

a) $4x+\sqrt{4x-3}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=2\sqrt{3-4x}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+3$

b) $\sqrt{-{{x}^{2}}+6x-9}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+{{x}^{3}}=27$

Hướng dẫn:

a) Điều kiện xác định của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}4x-3\ge 0\\3-4x\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}$

Thử vào phương trình thấy $x=\frac{3}{4}$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệp của phương trình là $\text{S}=\left\{ \frac{3}{4} \right\}.$

b) Điều kiện xác định của phương trình là $-{{x}^{2}}+6x-9\ge 0\Leftrightarrow \text{ }\!\!~\!\!\text{ }-{{\left( x-3 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow x=3$

Thay $\text{x}=3$ vào thấy thỏa mãn phương trình

Vậy tập nghiệp của phương trình là $\text{S}=\left\{ 3 \right\}.$

DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ

Phương pháp giải:

Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng

+ Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương phương trình đã cho.
+ Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
+ Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
+ Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Ví dụ 3: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) $1+\frac{1}{x-3}=\frac{5}{{{x}^{2}}-x-6}$

b) $\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{x-2}}=\frac{1}{\sqrt{x-2}}-\sqrt{x-2}$

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ : $\left\{ \begin{array}{l}x\ne 3\\{{x}^{2}}-x-6\ne 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ne 3\\x\ne -2\end{array} \right.$

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

$1+\frac{1}{x-3}=\frac{5}{\left( x-3 \right)\left( x+2 \right)}\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( x+2 \right)+x+2=5$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\pm 3$

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là $\text{x}=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-3$ .

b) ĐKXĐ: $\text{x}>2$

Với điều kiện đó phương trình tương đương với

${{x}^{2}}=1-\left( x-2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$

Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Tìm $m$ để cặp phương trình sau tương đương

$m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$ và $\left( m-2 \right){{x}^{2}}-3x+{{m}^{2}}-15=0$ (2)

Hướng dẫn:

Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương

Ta có $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( mx-m+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\mx-m+2=0\end{array} \right.$

Do hai phương trình tương đương nên $x=1$ là nghiệm của phương trình (2)

Thay $x=1$ vào phương trình (2) ta được

$\left( m-2 \right)-3+{{m}^{2}}-15=0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m=4\\m=-5\end{array} \right.$

Với $m=\text{ }\!\!~\!\!\text{ }-5$ : Phương trình (1) trở thành $-5{{x}^{2}}+12x-7=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\x=\frac{7}{5}\end{array} \right.$